ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αγώνας δρόμου για τη διάσωση του Τεράστιου Θεωρήματος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αγώνας δρόμου για τη διάσωση του Τεράστιου Θεωρήματος

Για να αρχίσει να καταλαβαίνει κανείς τη θεωρία ομάδων και πώς η συμμετρία είναι μέρος της, μπορεί να στραφεί στο σχήμα του κύβου. Ο κύβος έχει 6 έδρες και οποιαδήποτε αν περιστραφεί (εφόσον οι έδρες δεν έχουν κάποιο χρώμα ή άλλο γνώρισμα), ο κύβος θα φαίνεται απαράλλαχτος. Υπάρχουν 24 δυνατές περιστροφές που διατηρούν τη συμμετρία του κύβου. Ο πεπερασμένος τους αριθμός κάνει αυτή τη συμμετρία από μαθηματικής πλευράς, μια πεπερασμένη ομάδα.

Εκατόν ογδόντα χρόνια διάρκεσε η προσπάθεια γενεών μαθηματικών για να απαντήσουν στο μεγαλύτερο πρόβλημα κατάταξης στην ιστορία της επιστήμης τους, με ιδιαίτερη ένταση της προσπάθειας από τη δεκαετία του 1950 ως τη δεκαετία του 1980. Υστερα από περίπου 500 επιστημονικά άρθρα, γραμμένα από 100 συγγραφείς, που όλα μαζί εκτιμώνται σε μέγεθος από 10.000 έως 15.000 σελίδες, το λεγόμενο Τεράστιο Θεώρημα, δηλαδή η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων, είχε ολοκληρωθεί.
Το 2011, τέσσερις από τους μαθηματικούς που συμμετείχαν στην απόδειξή του, εξέδωσαν ένα βιβλίο 350 σελίδων, που αποτελεί τη σύντομη εκδοχή, το περίγραμμα αυτού του κολοσσιαίου έργου της μαθηματικής επιστήμης. Το βιβλίο είναι πολύ χρήσιμο ως μπούσουλας για όποιον ασχοληθεί με το Τεράστιο Θεώρημα. Ο όγκος της απόδειξης τη φέρνει στα όρια της ανθρώπινης ικανότητας αντίληψης, πολύ περισσότερο που αυτή έγινε τμηματικά και διάσπαρτα στο χρόνο και στα επιστημονικά περιοδικά του τομέα. Κανείς μαθηματικός δεν έχει διαβάσει όλα τα επιμέρους στοιχεία της απόδειξης και τώρα, οι περισσότεροι που έχουν ασχοληθεί με αυτό είναι αρκετά μεγάλης ηλικίας. Ο κίνδυνος μαζί με τους μαθηματικούς που δούλεψαν πάνω στο Τεράστιο Θεώρημα να χαθεί μέρος από τη γνώση που συνδέεται με το θεώρημα είναι υπαρκτός και σημαντικός και γι' αυτό μια ομάδα νεότερων μαθηματικών προσπαθεί να συντάξει μια πιο συμπαγή απόδειξη, συγκεντρώνοντας τα κομμάτια και αντικαθιστώντας κάποια πολύπλοκα με πιο απλά, όπου αυτό είναι δυνατό.
Ομως τι αφορά και γιατί είναι τόσο χρήσιμο το Τεράστιο Θεώρημα; Στην ουσία βάζει τάξη στη θεωρία ομάδων, που είναι η μαθηματική μελέτη της συμμετρίας. Η μελέτη της συμμετρίας είναι κρίσιμη σε επιστημονικές περιοχές όπως η μοντέρνα σωματιδιακή φυσική. Το Καθιερωμένο Μοντέλο, που αποκρυσταλλώνει όλη τη μέχρι τώρα γνώση του ανθρώπου για τα θεμελιώδη σωματίδια, βασίζεται σε μαθηματικά εργαλεία για τη συμμετρία που παρέχει η θεωρία ομάδων. Μεγάλες ιδέες για τη συμμετρία στις μικρότερες κλίμακες βοήθησαν τους φυσικούς να συντάξουν τις εξισώσεις, που χρησιμοποιήθηκαν στα πειράματα για την ανακάλυψη θεμελιωδών σωματιδίων, όπως τα κουάρκς, από τα οποία σχηματίζονται τα πιο γνωστά σωματίδια πρωτόνιο και νετρόνιο. Οι ίδιες χρησιμοποιούνται στα πειράματα του CERN και άλλων γιγαντιαίων επιταχυντών στον κόσμο, που τώρα επικεντρώνονται στο μποζόνιο Χιγκς, σωματίδιο που μπορεί να υπάρχει μόνο αν η συμμετρία «σπάει» σε κβαντικό επίπεδο.
Συμμετρία είναι η έννοια ότι κάτι μπορεί να υποστεί μια σειρά μετασχηματισμών (περιστροφή, δίπλωμα, ανάκλαση, μετακίνηση κ.τ.λ.) και στο τέλος όλων αυτών των μετασχηματισμών να φαίνεται απαράλλαχτο. Εκδηλώνεται παντού στο σύμπαν, από τα κουάρκς, ως τη διάταξη των γαλαξιών.
Οι συμμετρίες μπορούν να αναλυθούν σε βασικά μέρη. Αυτά ονομάζονται απλές ομάδες και λειτουργώντας σαν επιμέρους στοιχεία συντίθενται με διαφορετικούς τρόπους για να σχηματίσουν μεγαλύτερες, πιο σύνθετες συμμετρίες. Το Τεράστιο Θεώρημα οργανώνει αυτές τις ομάδες σε τέσσερις οικογένειες. Αν και η απόδειξή του είναι θηριώδης, το ίδιο το θεώρημα είναι μόνο μια πρόταση που αναφέρει και τις τέσσερις: Κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα είναι κυκλική πρώτης τάξης, είτε εναλλασσόμενη ομάδα, είτε πεπερασμένη απλή ομάδα τύπου Lie, είτε μια από τις 26 σποραδικές πεπερασμένες απλές ομάδες.
Στις κυκλικές ομάδες ανήκουν για παράδειγμα, τα κανονικά πεντάγωνα. Αν τα περιστρέψεις κατά το ένα πέμπτο του κύκλου μοιάζουν απαράλλακτα. Αν το επαναλάβεις 5 φορές, το σχήμα ξαναγίνεται ακριβώς όπως στην αρχή. Κάθε κυκλική πεπερασμένη απλή ομάδα έχει αριθμό μελών που είναι πρώτος αριθμός (διαιρείται ακριβώς μόνο με τον εαυτό του και το 1). Οι εναλλασσόμενες ομάδες προκύπτουν από τους συνδυασμούς των μελών ενός συνόλου. Μια πλήρης ομάδα συμμετριών περιλαμβάνει όλους τους συνδυασμούς, αλλά μια εναλλασσόμενη περιέχει μόνο τους μισούς, εκείνους που έχουν ζυγό αριθμό συνδυασμών. Οι ομάδες τύπου Lie περιλαμβάνουν τις περιστροφές ενός τρισδιάστατου (ή περισσότερων μαθηματικών διαστάσεων) αντικειμένου που δεν αλλάζουν τον όγκο του (ή το ανάλογο του όγκου στις περισσότερες από 3 διαστάσεις). Οι σποραδικές ομάδες είναι κατά κάποιον τρόπο οι ειδικές περιπτώσεις, που δεν μπορούν να ενταχτούν σε κάποια από τις άλλες οικογένειες. Η μεγαλύτερη απ' τις σποραδικές ομάδες, αποκαλούμενη και «Τέρας», έχει 10⁵³ στοιχεία (1 ακολουθούμενο από 53 μηδενικά...) και μπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα χώρο με 196.883 διαστάσεις! Κανείς δεν ξέρει τι ακριβώς σημαίνει και αν μπορεί να τη συναντήσει κανείς κάπου στη φύση. Ο φυσικός Φρίμαν Ντάισον είχε δηλώσει το 1983 ότι ελπίζει πως η Φυσική του 21ου αιώνα θα συναντήσει το «Τέρας» σε ανύποπτο μέρος, βαθιά μέσα στη δομή του φυσικού κόσμου.
Για τους μαθηματικούς που ασχολούνται με τη συμμετρία και τους θεωρητικούς των ομάδων, το Τεράστιο Θεώρημα δεν είναι τίποτα λιγότερο σημαντικό και θεμελιώδες, απ' ό,τι είναι ο Περιοδικός Πίνακας των Στοιχείων για τους χημικούς. Στο μέλλον μπορεί να οδηγήσει σε νέες ανακαλύψεις στα βαθύτερα επίπεδα της φύσης. Χωρίς μια προσιτή απόδειξη του Τεράστιου Θεωρήματος, οι μαθηματικοί του μέλλοντος θα είχαν δύο επιλογές: είτε απλά να εμπιστευτούν την απόδειξη, δίχως να ξέρουν πολλά γι' αυτή, είτε να ξανανακαλύψουν τον τροχό. Κανείς μαθηματικός δεν θα ένιωθε άνετα με την πρώτη λύση και η δεύτερη θα ήταν σχεδόν αδύνατη. Τα μαθηματικά συνηθίζουν να αποδεικνύουν αφηρημένες αλήθειες δεκαετίες, καμιά φορά και αιώνες πριν γίνουν χρήσιμες έξω από το πεδίο τους. Γι' αυτό είναι σημαντικό να δίνεται βάρος στη βασική έρευνα, όπως η έρευνα στα θεωρητικά μαθηματικά, και αυτή να θεμελιώνεται όσο γίνεται καλύτερα. Σήμερα ο καπιταλισμός γέρνει την πλάστιγγα προς την εφαρμοσμένη έρευνα, από την οποία ελπίζει να έχει πιο γρήγορα οικονομικό αποτέλεσμα.

Επιμέλεια:
Σταύρος ΞΕΝΙΚΟΥΔΑΚΗΣ
Πηγή: «Scientific American»